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@@ -0,0 +1,67 @@
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+## 14.26
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+
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+$$
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+\begin{aligned}
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+ p(x^t)T(x^{t-1}|x^t)=p(x^{t-1})T(x^t|x^{t-1})
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+ \end{aligned}
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+ \tag{14.26}
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+$$
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+
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+[解析]：假设变量$x$所在的空间有$n$个状态($s_1,s_2,..,s_n$), 定义在该空间上的一个转移矩阵$T(n\times n)$如果满足一定的条件则该马尔可夫过程存在一个稳态分布$\pi$, 使得
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+$$
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+\begin{aligned}
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+\pi T=\pi
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+\end{aligned}
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+\tag{1}
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+$$
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+其中, $\pi$是一个是一个$n$维向量，代表$s_1,s_2,..,s_n$对应的概率. 反过来, 如果我们希望采样得到符合某个分布$\pi$的一系列变量$x_1,x_2,..,x_t$, 应当采用哪一个转移矩阵$T(n\times n)$呢？
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+
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+事实上，转移矩阵只需要满足马尔可夫细致平稳条件
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+$$
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+\begin{aligned}
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+\pi (i)T(i,j)=\pi (j)T(j,i)
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+\end{aligned}
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+\tag{2}
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+$$
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+即公式$14.26$，这里采用的符号与西瓜书略有区别以便于理解. 证明如下
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+$$
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+\begin{aligned}
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+\pi T(j) = \sum _i \pi (i)T(i,j) = \sum _i \pi (j)T(j,i) = \pi(j)
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+\end{aligned}
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+\tag{3}
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+$$
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+假设采样得到的序列为$x_1,x_2,..,x_{t-1},x_t$，则可以使用$MH$算法来使得$x_{t-1}$(假设为状态$s_i$)转移到$x_t$(假设为状态$s_j$)的概率满足式$(2)$.
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+
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+## 14.28
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+
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+$$
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+\begin{aligned}
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+A(x^* | x^{t-1}) = \min\left ( 1,\frac{p(x^*)Q(x^{t-1} | x^*) }{p(x^{t-1})Q(x^* | x^{t-1})} \right )
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+\end{aligned}
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+\tag{14.28}
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+$$
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+
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+[推导]：这个公式其实是拒绝采样的一个trick，因为基于式$14.27$只需要
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+$$
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+\begin{aligned}
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+ A(x^* | x^{t-1}) &= p(x^*)Q(x^{t-1} | x^*) \\
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+ A(x^{t-1} | x^*) &= p(x^{t-1})Q(x^* | x^{t-1})
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+ \end{aligned}
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+ \tag{4}
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+$$
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+即可满足式$14.26$，但是实际上等号右边的数值可能比较小，比如各为0.1和0.2，那么好不容易才到的样本只有百分之十几得到利用，所以不妨将接受率设为0.5和1，则细致平稳分布条件依然满足，样本利用率大大提高, 所以可以将$(4)$改进为
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+$$
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+\begin{aligned}
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+A(x^* | x^{t-1}) &= \frac{p(x^*)Q(x^{t-1} | x^*)}{norm} \\
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+A(x^{t-1} | x^*) &= \frac{p(x^{t-1})Q(x^* | x^{t-1}) }{norm}
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+\end{aligned}
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+\tag{5}
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+$$
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+其中
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+$$
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+\begin{aligned}
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+norm = \max\left (p(x^{t-1})Q(x^* | x^{t-1}),p(x^*)Q(x^{t-1} | x^*) \right )
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+\end{aligned}
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+\tag{6}
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+$$
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+即教材的$14.28$.
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黑桃