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chapter8

docs/chapter8/chapter8.md

@@ -17,7 +17,7 @@ $$
 $$
 
 ## 8.5-8.8
-[解析]：由式(8.4)可知
+由式(8.4)可知
 $$H(\boldsymbol{x})=\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} h_{t}(\boldsymbol{x})$$
 
 又由式(8.11)可知
@@ -25,13 +25,12 @@ $$
 \alpha_{t}=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1-\epsilon_{t}}{\epsilon_{t}}\right)
 $$
 该分类器的权重只与分类器的错误率负相关(即错误率越大，权重越低)
+[推导:]
 
 (1)先考虑指数损失函数$e^{-f(x) H(x)}$的含义：$f$为真实函数，对于样本$x$来说，$f(\boldsymbol{x}) \in\{-1,+1\}$只能取和两个值，而$H(\boldsymbol{x})$是一个实数；
 当$H(\boldsymbol{x})$的符号与$f(x)$一致时，$f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})>0$，因此$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}=e^{-|H(\boldsymbol{x})|}<1$，且$|H(\boldsymbol{x})|$越大指数损失函数$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}$越小（这很合理：此时$|H(\boldsymbol{x})|$越大意味着分类器本身对预测结果的信心越大，损失应该越小；若$|H(\boldsymbol{x})|$在零附近，虽然预测正确，但表示分类器本身对预测结果信心很小，损失应该较大）；
 当$H(\boldsymbol{x})$的符号与$f(\boldsymbol{x})$不一致时，$f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})<0$，因此$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}=e^{|H(\boldsymbol{x})|}>1$，且$| H(\boldsymbol{x}) |$越大指数损失函数越大（这很合理：此时$| H(\boldsymbol{x}) |$越大意味着分类器本身对预测结果的信心越大，但预测结果是错的，因此损失应该越大；若$| H(\boldsymbol{x}) |$在零附近，虽然预测错误，但表示分类器本身对预测结果信心很小，虽然错了，损失应该较小）；
 (2)符号$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}[\cdot]$的含义：$\mathcal{D}$为概率分布，可简单理解为在数据集$D$中进行一次随机抽样，每个样本被取到的概率；$\mathbb{E}[\cdot]$为经典的期望，则综合起来$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}[\cdot]$表示在概率分布$\mathcal{D}$上的期望，可简单理解为对数据集$D$以概率$\mathcal{D}$进行加权后的期望。
-f(x)是概率分布函数
-
 $$
 \begin{aligned}
 \ell_{\mathrm{exp}}(H | \mathcal{D})=&\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}\right]
@@ -62,12 +61,35 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
+<!-- ## 8.16
+由式(8.13)可知
+$$
+\begin{aligned} \ell_{\exp }\left(H_{t-1}+h_{t} | \mathcal{D}\right) & \simeq \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h_{t}(\boldsymbol{x})+\frac{f^{2}(\boldsymbol{x}) h_{t}^{2}(\boldsymbol{x})}{2}\right)\right] \\ &=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h_{t}(\boldsymbol{x})+\frac{1}{2}\right)\right] \quad \text { . } \end{aligned}
+$$
+
+求得的$h_t$使得损失函数最小，所以得出(8.14)
+$$
+\begin{aligned}
+h_{t}(\boldsymbol{x})&=\underset{h}{\arg \min } \ell_{\exp }\left(H_{t-1}+h | \mathcal{D}\right)
+\\&
+\begin{array}{l}{ =\underset{h}{\arg \min } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})+\frac{1}{2}\right)\right]} \\ {=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right]} \\ {=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right.}} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right]}\end{array} \end{aligned}
+$$
+
+最后一行式子里$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]$因为是基于学习器$H_{t-1}$的指数损失函数的期望，所以是大于0的常数，所以这里不影响损失函数最小时，参数h的值。
+
+式(8.15)
+$$
+\mathcal{D}_{t}(\boldsymbol{x})=\frac{\mathcal{D}(\boldsymbol{x}) e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]}
+$$
+
+这里的$\mathcal{D}$是x的概率分布 -->
+
 ## 8.16
 $$
 \begin{aligned} h_{t}(\boldsymbol{x}) &=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right] \\ &=\underset{\boldsymbol{h}}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}_{t}}[f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})] \end{aligned}
 $$
 
-[推导]：假设x的概率分布是f(x)
+假设x的概率分布是f(x)
 (注:本书中概率分布全都是$\mathcal{D(x)}$)
 
 $$
@@ -86,4 +108,31 @@ $$
 所以式(8.16)可以表示为
 $$
 \begin{aligned} & \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right] \\=& \sum_{i=1}^{|D|} \mathcal{D}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \frac{e^{-f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) H_{t-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x}) }]  \right.}f(x_i)h(x_i) \\=& \sum_{i=1}^{|D|} \mathcal{D}_{t}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) h\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \\=& \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}_{t}}[f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})] \end{aligned}
-$$
+$$
+
+
+
+## 附录
+
+(1) 如何由下式(*)推至式(8.16)
+$$
+P(f(x)=1|x)e^{-H(x)}+P(f(x)=-1|x)e^{H(x)}(*)
+$$
+
+首先式(*)可以拆成n个式子,n的个数为x的取值个数
+
+$$
+P(f(x_i)=1|x_i)e^{-H(x_i)}+P(f(x_i)=-1|x_i)e^{H(x_i)}(i=1,2,...,n)(**)
+$$
+
+当$x_i$确定的时候,$P(f(x_i=1|x_i))$与$P(f(x_i=-1|x_i))$其中有一个为0，另一个为1，则式(**)可以化简成
+$$
+e^{-f(x_i)H(x_i)}(i=1,2,...,n)(***)
+$$
+拆成n个式子是根据不同的x来拆分的，可以把$x=x_i$看成一个事件，设为事件$A_i$，当事件$A_i$发生时，事件$A_j$一定不发生，即各事件互斥,而且各个事件发生的概率是$P(A_i)=\mathcal{D}(x_i)$，此时可以考虑成原来的x被分成了n叉树，每个路径的概率是$\mathcal{D}(x_i)$,叶子结点的值是$e^{-f(x_i)H(x_i)}$相乘再相加即为期望，同式(8.16)
+<!-- $$
+P(\cup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)=\sum_{i=1}^n\mathcal{D}(x_i)
+$$ -->
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