新增chapter16目录项

README.md

@@ -24,7 +24,7 @@ https://datawhalechina.github.io/pumpkin-book/
 - 第13章 [半监督学习](https://datawhalechina.github.io/pumpkin-book/#/chapter13/chapter13)
 - 第14章 [概率图模型](https://datawhalechina.github.io/pumpkin-book/#/chapter14/chapter14)
 - 第15章 规则学习
-- 第16章 强化学习
+- 第16章 [强化学习](https://datawhalechina.github.io/pumpkin-book/#/chapter16/chapter16)
 
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docs/_sidebar.md

@@ -11,3 +11,4 @@
   - [第10章 降维与度量学习](chapter10/chapter10.md)
   - [第13章 半监督学习](chapter13/chapter13.md)
   - [第14章 概率图模型](chapter14/chapter14.md)
+  - [第16章 强化学习](chapter16/chapter16.md)

docs/chapter16.md

@@ -1,135 +0,0 @@
-## 16.2
-$$
-Q_{n}(k)=\frac{1}{n}\left((n-1)\times Q_{n-1}(k)+v_{n}\right)
-$$
-
-[推导]：
-$$
-Q_{n}(k)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_{i}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1}v_{i}+v_{n}\right)=\frac{1}{n}\left((n-1)Q_{n-1}(k)+v_{n}\right)
-$$
-
-## 16.4
-
-$$
-P(k)=\frac{e^{\frac{Q(k)}{\tau }}}{\sum_{i=1}^{K}e^{\frac{Q(i)}{\tau}}}
-$$
-
-$$
-\tau越小则平均奖赏高的摇臂被选取的概率越高
-$$
-
-[解析]：
-$$
-P(k)=\frac{e^{\frac{Q(k)}{\tau }}}{\sum_{i=1}^{K}e^{\frac{Q(i)}{\tau}}}\propto e^{\frac{Q(k)}{\tau }}\propto\frac{Q(k)}{\tau }\propto\frac{1}{\tau}
-$$
-
-## 16.7
-
-$$
-\begin{aligned}
-V_{T}^{\pi}(x)&=\mathbb{E}_{\pi}[\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}r_{t}\mid x_{0}=x]\\
-&=\mathbb{E}_{\pi}[\frac{1}{T}r_{1}+\frac{T-1}{T}\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}r_{t}\mid x_{0}=x]\\
-&=\sum_{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(\frac{1}{T}R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\frac{T-1}{T}\mathbb{E}_{\pi}[\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T-1}r_{t}\mid x_{0}=x{}'])\\
-&=\sum_{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(\frac{1}{T}R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\frac{T-1}{T}V_{T-1}^{\pi}(x{}')])
-\end{aligned}
-$$
-
-[解析]：
-
-因为
-$$
-\pi(x,a)=P(state=x\mid action=a)
-$$
-表示在状态 **x**下选择动作 **a**的概率，
-
-又因为动作事件之间两两互斥且和为动作空间，由全概率展开公式
-$$
-P(A)=\sum_{i=1}^{\infty}P(B_{i})P(A\mid B_{i})
-$$
-可得
-$$
-\begin{aligned}
-&=\mathbb{E}_{\pi}[\frac{1}{T}r_{1}+\frac{T-1}{T}\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}r_{t}\mid x_{0}=x]\\
-&=\sum_{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(\frac{1}{T}R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\frac{T-1}{T}\mathbb{E}_{\pi}[\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T-1}r_{t}\mid x_{0}=x{}'])
-\end{aligned}
-$$
-其中
-$$
-r_{1}=\pi(x,a)P_{x\rightarrow x{}'}^{a}R_{x\rightarrow x{}'}^{a}
-$$
-最后一个等式用到了递归形式。
-
-
-
-## 16.8
-
-$$
-V_{\gamma }^{\pi}(x)=\sum _{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\gamma V_{\gamma }^{\pi}(x{}'))
-$$
-
-[推导]：
-$$
-\begin{aligned}
-V_{\gamma }^{\pi}(x)&=\mathbb{E}_{\pi}[\sum_{t=0}^{\infty }\gamma^{t}r_{t+1}\mid x_{0}=x]\\
-&=\mathbb{E}_{\pi}[r_{1}+\sum_{t=1}^{\infty}\gamma^{t}r_{t+1}\mid x_{0}=x]\\
-&=\mathbb{E}_{\pi}[r_{1}+\gamma\sum_{t=1}^{\infty}\gamma^{t-1}r_{t+1}\mid x_{0}=x]\\
-&=\sum _{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\gamma \mathbb{E}_{\pi}[\sum_{t=0}^{\infty }\gamma^{t}r_{t+1}\mid x_{0}=x{}'])\\
-&=\sum _{a\in A}\pi(x,a)\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{a}(R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\gamma V_{\gamma }^{\pi}(x{}'))
-\end{aligned}
-$$
-
-## 16.16
-
-$$
-V^{\pi}(x)\leq V^{\pi{}'}(x)
-$$
-
-[推导]：
-$$
-\begin{aligned}
-V^{\pi}(x)&\leq Q^{\pi}(x,\pi{}'(x))\\
-&=\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}(R_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}+\gamma V^{\pi}(x{}'))\\
-&\leq \sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}(R_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}+\gamma Q^{\pi}(x{}',\pi{}'(x{}')))\\
-&=\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}(R_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}+\gamma \sum_{x{}'\in X}P_{x{}'\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x{}')}(R_{x{}'\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x{}')}+\gamma V^{\pi}(x{}')))\\
-&=\sum_{x{}'\in X}P_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}(R_{x\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x)}+\gamma V^{\pi{}'}(x{}'))\\
-&=V^{\pi{}'}(x)
-\end{aligned}
-$$
-其中，使用了动作改变条件
-$$
-Q^{\pi}(x,\pi{}'(x))\geq V^{\pi}(x)
-$$
-以及状态-动作值函数
-$$
-Q^{\pi}(x{}',\pi{}'(x{}'))=\sum_{x{}'\in X}P_{x{}'\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x{}')}(R_{x{}'\rightarrow x{}'}^{\pi{}'(x{}')}+\gamma V^{\pi}(x{}'))
-$$
-于是，当前状态的最优值函数为
-
-$$
-V^{\ast}(x)=V^{\pi{}'}(x)\geq V^{\pi}(x)
-$$
-
-
-
-## 16.31
-
-$$
-Q_{t+1}^{\pi}(x,a)=Q_{t}^{\pi}(x,a)+\alpha (R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\gamma Q_{t}^{\pi}(x{}',a{}')-Q_{t}^{\pi}(x,a))
-$$
-
-[推导]：对比公式16.29
-$$
-Q_{t+1}^{\pi}(x,a)=Q_{t}^{\pi}(x,a)+\frac{1}{t+1}(r_{t+1}-Q_{t}^{\pi}(x,a))
-$$
-以及由
-$$
-\frac{1}{t+1}=\alpha
-$$
-可知
-$$
-r_{t+1}=R_{x\rightarrow x{}'}^{a}+\gamma Q_{t}^{\pi}(x{}',a{}')
-$$
-而由γ折扣累积奖赏可估计得到。
-
-
-