## 10.4
$$\sum^m_{i=1}dist^2_{ij}=tr(\boldsymbol B)+mb_{jj}$$
[推导]：
$$\begin{aligned}
\sum^m_{i=1}dist^2_{ij}&= \sum^m_{i=1}b_{ii}+\sum^m_{i=1}b_{jj}-2\sum^m_{i=1}b_{ij}\\
&=tr(B)+mb_{jj}
\end{aligned}​$$

## 10.10
$$b_{ij}=-\frac{1}{2}(dist^2_{ij}-dist^2_{i\cdot}-dist^2_{\cdot j}+dist^2_{\cdot\cdot})$$
[推导]：由公式（10.3）可得，
$$b_{ij}=-\frac{1}{2}(dist^2_{ij}-b_{ii}-b_{jj})$$
由公式（10.6）和（10.9）可得，
$$\begin{aligned}
tr(\boldsymbol B)&=\frac{1}{2m}\sum^m_{i=1}\sum^m_{j=1}dist^2_{ij}\\
&=\frac{m}{2}dist^2_{\cdot\cdot}
\end{aligned}$$
由公式（10.4）和（10.8）可得，
$$\begin{aligned}
b_{jj}&=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}dist^2_{ij}-\frac{1}{m}tr(\boldsymbol B)\\
&=dist^2_{\cdot j}-\frac{1}{2}dist^2_{\cdot\cdot}
\end{aligned}$$
由公式（10.5）和（10.7）可得，
$$\begin{aligned}
b_{ii}&=\frac{1}{m}\sum^m_{j=1}dist^2_{ij}-\frac{1}{m}tr(\boldsymbol B)\\
&=dist^2_{i\cdot}-\frac{1}{2}dist^2_{\cdot\cdot}
\end{aligned}$$
综合可得，
$$\begin{aligned}
b_{ij}&=-\frac{1}{2}(dist^2_{ij}-b_{ii}-b_{jj})\\
&=-\frac{1}{2}(dist^2_{ij}-dist^2_{i\cdot}+\frac{1}{2}dist^2_{\cdot\cdot}-dist^2_{\cdot j}+\frac{1}{2}dist^2_{\cdot\cdot})\\
&=-\frac{1}{2}(dist^2_{ij}-dist^2_{i\cdot}-dist^2_{\cdot j}+dist^2_{\cdot\cdot})
\end{aligned}$$

## 10.14
$$\begin{aligned}
\sum^m_{i=1}\left\| \sum^{d'}_{j=1}z_{ij}\boldsymbol{w}-\boldsymbol x_i \right\|^2_2&=\sum^m_{i=1}\boldsymbol z^{\mathrm{T}}_i\boldsymbol z_i-2\sum^m_{i=1}\boldsymbol z^{\mathrm{T}}_i\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i +\text { const }\\
&\propto -\operatorname{tr}(\mathbf{W}^{\mathrm{T}}(\sum^m_{i=1}\boldsymbol x_i\boldsymbol x^{\mathrm{T}}_i)\mathbf{W})
\end{aligned}$$
[推导]：已知$\mathbf{W}^{\mathrm{T}} \mathbf{W}=\mathbf{I},\boldsymbol z_i=\mathbf{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol x_i$，则
$$\begin{aligned}
\sum^m_{i=1}\left\| \sum^{d'}_{j=1}z_{ij}\boldsymbol{w}_j-\boldsymbol x_i \right\|^2_2&=\sum^m_{i=1}\left\|\mathbf{W}\boldsymbol z_i-\boldsymbol x_i \right\|^2_2\\
&= \sum^m_{i=1} \left(\mathbf{W}\boldsymbol z_i-\boldsymbol x_i\right)^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{W}\boldsymbol z_i-\boldsymbol x_i\right)\\
&= \sum^m_{i=1} \left(\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\mathbf{W}\boldsymbol z_i- \boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i-\boldsymbol x_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}\boldsymbol z_i+\boldsymbol x_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i \right)\\
&= \sum^m_{i=1} \left(\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i- 2\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i+\boldsymbol x_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i \right)\\
&=\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i-2\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i+\sum^m_{i=1}\boldsymbol x^{\mathrm{T}}_i\boldsymbol x_i\\
&=\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i-2\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\boldsymbol x_i+\text { const }\\
&=\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i-2\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i+\text { const }\\
&=-\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_i+\text { const }\\
&=-\sum^m_{i=1}\operatorname{tr}\left(\boldsymbol z_i\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\right)+\text { const }\\
&=-\operatorname{tr}\left(\sum^m_{i=1}\boldsymbol z_i\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\right)+\text { const }\\
&=-\operatorname{tr}\left(\sum^m_{i=1}\mathbf{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm{T}}\mathbf{W}\right)+\text { const }\\
&= -\operatorname{tr}\left(\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\left(\sum^m_{i=1}\boldsymbol x_i\boldsymbol x^{\mathrm{T}}_i\right)\mathbf{W}\right)+\text { const }\\
&\propto-\operatorname{tr}\left(\mathbf{W}^{\mathrm{T}}\left(\sum^m_{i=1}\boldsymbol x_i\boldsymbol x^{\mathrm{T}}_i\right)\mathbf{W}\right)\\
\end{aligned}$$

## 10.17
$$
\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \boldsymbol w_i=\lambda _i\boldsymbol w_i
$$
[推导]：由式（10.15）可知，主成分分析的优化目标为
$$\begin{aligned}
&\min\limits_{\mathbf W} \quad-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)\\
&s.t. \quad\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W=\mathbf I
\end{aligned}$$
其中，$\mathbf{X}=\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \ldots, \boldsymbol{x}_{m}\right) \in \mathbb{R}^{d \times m},\mathbf{W}=\left(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{d^{\prime}}\right) \in \mathbb{R}^{d \times d^{\prime}}$，$\mathbf{I} \in \mathbb{R}^{d^{\prime} \times d^{\prime}}$为单位矩阵。对于带矩阵约束的优化问题，根据<a href="#ref1">[1]</a>中讲述的方法可得此优化目标的拉格朗日函数为
$$\begin{aligned}
L(\mathbf W,\Theta)&=-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)+\langle \Theta,\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I\rangle \\
&=-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)+\text { tr }\left(\Theta^{\mathrm{T}} (\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I)\right) 
\end{aligned}$$
其中，$\Theta  \in \mathbb{R}^{d^{\prime} \times d^{\prime}}$为拉格朗日乘子矩阵，其维度恒等于约束条件的维度，且其中的每个元素均为未知的拉格朗日乘子，$\langle \Theta,\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I\rangle = \text { tr }\left(\Theta^{\mathrm{T}} (\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I)\right)$为矩阵的内积<sup><a href="#ref2">[2]</a></sup>。若此时仅考虑约束$\boldsymbol{w}_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w}_i=1(i=1,2,...,d^{\prime})$，则拉格朗日乘子矩阵$\Theta$此时为对角矩阵，令新的拉格朗日乘子矩阵为$\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{d^{\prime}})\in \mathbb{R}^{d^{\prime} \times d^{\prime}}$，则新的拉格朗日函数为
$$L(\mathbf W,\Lambda)=-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)+\text { tr }\left(\Lambda^{\mathrm{T}} (\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I)\right) $$
对拉格朗日函数关于$\mathbf{W}$求导可得
$$\begin{aligned}
\cfrac{\partial L(\mathbf W,\Lambda)}{\partial \mathbf W}&=\cfrac{\partial}{\partial \mathbf W}\left[-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)+\text { tr }\left(\Lambda^{\mathrm{T}} (\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I)\right)\right] \\
&=-\cfrac{\partial}{\partial \mathbf W}\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)+\cfrac{\partial}{\partial \mathbf W}\text { tr }\left(\Lambda^{\mathrm{T}} (\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf W-\mathbf I)\right) \\
\end{aligned}$$
由矩阵微分公式$\cfrac{\partial}{\partial \mathbf{X}} \text { tr }(\mathbf{X}^{\mathrm{T}}  \mathbf{B} \mathbf{X})=\mathbf{B X}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}  \mathbf{X},\cfrac{\partial}{\partial \mathbf{X}} \text { tr }\left(\mathbf{B X}^{\mathrm{T}}  \mathbf{X}\right)=\mathbf{X B}^{\mathrm{T}} +\mathbf{X B}$可得
$$\begin{aligned}
\cfrac{\partial L(\mathbf W,\Lambda)}{\partial \mathbf W}&=-2\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W+\mathbf{W}\Lambda+\mathbf{W}\Lambda^{\mathrm{T}}  \\
&=-2\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W+\mathbf{W}(\Lambda+\Lambda^{\mathrm{T}} ) \\
&=-2\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W+2\mathbf{W}\Lambda
\end{aligned}$$
令$\cfrac{\partial L(\mathbf W,\Lambda)}{\partial \mathbf W}=\mathbf 0$可得
$$-2\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W+2\mathbf{W}\Lambda=\mathbf 0$$
$$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W=\mathbf{W}\Lambda$$
将$\mathbf W$和$\Lambda$展开可得
$$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \boldsymbol w_i=\lambda _i\boldsymbol w_i,\quad i=1,2,...,d^{\prime}$$
显然，此式为矩阵特征值和特征向量的定义式，其中$\lambda_i,\boldsymbol w_i$分别表示矩阵$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}}$的特征值和单位特征向量。由于以上是仅考虑约束$\boldsymbol{w}_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w}_i=1$所求得的结果，而$\boldsymbol{w}_i$还需满足约束$\boldsymbol{w}_{i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w}_{j}=0(i\neq j)$。观察$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}}$的定义可知，$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}}$是一个实对称矩阵，实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量之间相互正交，同一特征值的不同特征向量可以通过施密特正交化使其变得正交，所以通过上式求得的$\boldsymbol w_i$可以同时满足约束$\boldsymbol{w}_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w}_i=1,\boldsymbol{w}_{i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w}_{j}=0(i\neq j)$。根据拉格朗日乘子法的原理可知，此时求得的结果仅是最优解的必要条件，而且$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}}$有$d$个相互正交的单位特征向量，所以还需要从这$d$个特征向量里找出$d^{\prime}$个能使得目标函数达到最优值的特征向量作为最优解。将$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \boldsymbol w_i=\lambda _i\boldsymbol w_i$代入目标函数可得
$$\begin{aligned}
\min\limits_{\mathbf W}-\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W)&=\max\limits_{\mathbf W}\text { tr }(\mathbf W^{\mathrm{T}} \mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \mathbf W) \\
&=\max\limits_{\mathbf W}\sum_{i=1}^{d^{\prime}}\boldsymbol w_i^{\mathrm{T}}\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}} \boldsymbol w_i \\
&=\max\limits_{\mathbf W}\sum_{i=1}^{d^{\prime}}\boldsymbol w_i^{\mathrm{T}}\cdot\lambda _i\boldsymbol w_i \\
&=\max\limits_{\mathbf W}\sum_{i=1}^{d^{\prime}}\lambda _i\boldsymbol w_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol w_i \\
&=\max\limits_{\mathbf W}\sum_{i=1}^{d^{\prime}}\lambda _i \\
\end{aligned}$$
显然，此时只需要令$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{d^{\prime}}$和$\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{d^{\prime}}$分别为矩阵$\mathbf X\mathbf X^{\mathrm{T}}$的前$d^{\prime}$个最大的特征值和单位特征向量就能使得目标函数达到最优值。

## 10.24
$$\mathbf{K}\boldsymbol{\alpha}^j=\lambda_j\boldsymbol{\alpha}^j $$
[推导]：已知$\boldsymbol z_i=\phi(\boldsymbol x_i)$，类比$\mathbf{X}=\{\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,...,\boldsymbol x_m\}$可以构造$\mathbf{Z}=\{\boldsymbol z_1,\boldsymbol z_2,...,\boldsymbol z_m\}$，所以公式(10.21)可变换为
$$\left(\sum_{i=1}^{m} \phi(\boldsymbol{x}_{i}) \phi(\boldsymbol{x}_{i})^{\mathrm{T}}\right)\boldsymbol w_j=\left(\sum_{i=1}^{m} \boldsymbol z_i \boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\right)\boldsymbol w_j=\mathbf{Z}\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\boldsymbol w_j=\lambda_j\boldsymbol w_j $$
又由公式(10.22)可知
$$\boldsymbol w_j=\sum_{i=1}^{m} \phi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \alpha_{i}^j=\sum_{i=1}^{m} \boldsymbol z_i \alpha_{i}^j=\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j$$
其中，$\boldsymbol{\alpha}^j=(\alpha_{1}^j;\alpha_{2}^j;...;\alpha_{m}^j)\in \mathbb{R}^{m \times 1} $。所以公式(10.21)可以进一步变换为
$$\mathbf{Z}\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j=\lambda_j\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j $$
$$\mathbf{Z}\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j=\mathbf{Z}\lambda_j\boldsymbol{\alpha}^j $$
由于此时的目标是要求出$\boldsymbol w_j$，也就等价于要求出满足上式的$\boldsymbol{\alpha}^j$，显然，此时满足$\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j=\lambda_j\boldsymbol{\alpha}^j $的$\boldsymbol{\alpha}^j$一定满足上式，所以问题转化为了求解满足下式的$\boldsymbol{\alpha}^j$：
$$\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\mathbf{Z}\boldsymbol{\alpha}^j=\lambda_j\boldsymbol{\alpha}^j $$
令$\mathbf{Z}^{\mathrm{T}}\mathbf{Z}=\mathbf{K}$，那么上式可化为
$$\mathbf{K}\boldsymbol{\alpha}^j=\lambda_j\boldsymbol{\alpha}^j $$
此式即为公式(10.24)，其中矩阵$\mathbf{K}$的第i行第j列的元素$(\mathbf{K})_{ij}=\boldsymbol z_i^{\mathrm{T}}\boldsymbol z_j=\phi(\boldsymbol x_i)^{\mathrm{T}}\phi(\boldsymbol x_j)=\kappa\left(\boldsymbol{x}_{i}, \boldsymbol{x}_{j}\right)$

## 10.28
$$w_{i j}=\frac{\sum\limits_{k \in Q_{i}} C_{j k}^{-1}}{\sum\limits_{l, s \in Q_{i}} C_{l s}^{-1}}$$
[推导]：由书中上下文可知，式(10.28)是如下优化问题的解。
$$\begin{aligned} 
\min _{\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{m}} & \sum_{i=1}^{m}\left\|\boldsymbol{x}_{i}-\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j} \boldsymbol{x}_{j}\right\|_{2}^{2} \\ 
\text { s.t. } & \sum_{j \in Q_{i}} w_{i j}=1 
\end{aligned}$$
若令$\boldsymbol{x}_{i}\in \mathbb{R}^{d\times 1},Q_i=\{q_i^1,q_i^2,...,q_i^n\}$，则上述优化问题的目标函数可以进行如下恒等变形
$$\begin{aligned} 
\sum_{i=1}^{m}\left\|\boldsymbol{x}_{i}-\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j} \boldsymbol{x}_{j}\right\|_{2}^{2}&=\sum_{i=1}^{m}\left\|\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j} \boldsymbol{x}_{i}-\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j} \boldsymbol{x}_{j}\right\|_{2}^{2} \\ 
&=\sum_{i=1}^{m}\left\|\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j}(\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{j}) \right\|_{2}^{2} \\ 
&=\sum_{i=1}^{m}\left\|\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i} \right\|_{2}^{2} \\
&=\sum_{i=1}^{m}\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i} \\ 
\end{aligned}$$
其中$\boldsymbol{w_i}=(w_{iq_i^1},w_{iq_i^2},...,w_{iq_i^n})\in \mathbb{R}^{n\times 1}$，$\mathbf{X}_i=\left( \boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{q_i^1}, \boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{q_i^2},...,\boldsymbol{x}_{i}-\boldsymbol{x}_{q_i^n}\right)\in \mathbb{R}^{d\times n}$。同理，约束条件也可以进行如下恒等变形
$$\sum_{j \in Q_{i}} w_{i j}=\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}=1 $$
其中$\boldsymbol{I}=(1,1,...,1)\in \mathbb{R}^{n\times 1}$为$n$行1列的单位向量。因此，上述优化问题可以重写为
$$\begin{aligned} 
\min _{\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{m}} & \sum_{i=1}^{m}\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i} \\ 
\text { s.t. } & \boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}=1
\end{aligned}$$
显然，此问题为带约束的优化问题，因此可以考虑使用拉格朗日乘子法来进行求解。由拉格朗日乘子法可得此优化问题的拉格朗日函数为
$$L(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{m},\lambda)=\sum_{i=1}^{m}\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}+\lambda\left(\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}-1\right)$$
对拉格朗日函数关于$\boldsymbol{w_i}$求偏导并令其等于0可得
$$\begin{aligned} 
\cfrac{\partial L(\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots, \boldsymbol{w}_{m},\lambda)}{\partial \boldsymbol{w_i}}&=\cfrac{\partial \left[\sum_{i=1}^{m}\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}+\lambda\left(\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}-1\right)\right]}{\partial \boldsymbol{w_i}}=0\\
&=\cfrac{\partial \left[\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}+\lambda\left(\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}-1\right)\right]}{\partial \boldsymbol{w_i}}=0\\
\end{aligned}$$
又由矩阵微分公式$\cfrac{\partial \boldsymbol{x}^{T} \mathbf{B} \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}}=\left(\mathbf{B}+\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{x},\cfrac{\partial \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{a}}{\partial \boldsymbol{x}}=\boldsymbol{a}$可得
$$\cfrac{\partial \left[\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}+\lambda\left(\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}-1\right)\right]}{\partial \boldsymbol{w_i}}=2\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}+\lambda \boldsymbol{I}=0$$
$$\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i\boldsymbol{w_i}=-\frac{1}{2}\lambda \boldsymbol{I}$$
若$\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i$可逆，则
$$\boldsymbol{w_i}=-\frac{1}{2}\lambda(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}$$
又因为$\boldsymbol{w_i}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w_i}=1$，则上式两边同时左乘$\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}$可得
$$\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w_i}=-\frac{1}{2}\lambda\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}=1$$
$$-\frac{1}{2}\lambda=\cfrac{1}{\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}}$$
将其代回$\boldsymbol{w_i}=-\frac{1}{2}\lambda(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}$即可解得
$$\boldsymbol{w_i}=\cfrac{(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}}{\boldsymbol{I}^{\mathrm{T}}(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}\boldsymbol{I}}$$
若令矩阵$(\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i)^{-1}$第$j$行第$k$列的元素为$C_{jk}^{-1}$，则
$$w_{ij}=w_{i q_i^j}=\frac{\sum\limits_{k \in Q_{i}} C_{j k}^{-1}}{\sum\limits_{l, s \in Q_{i}} C_{l s}^{-1}}$$
此即为公式(10.28)。显然，若$\mathbf{X}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{X}_i$可逆，此优化问题即为凸优化问题，且此时用拉格朗日乘子法求得的$\boldsymbol{w_i}$为全局最优解。

## 10.31
$$\begin{aligned}
&\min\limits_{\boldsymbol Z}tr(\boldsymbol Z \boldsymbol M \boldsymbol Z^T)\\
&s.t. \boldsymbol Z^T\boldsymbol Z=\boldsymbol I. 
\end{aligned}$$
[推导]：
$$\begin{aligned}
\min\limits_{\boldsymbol Z}\sum^m_{i=1}\| \boldsymbol z_i-\sum_{j \in Q_i}w_{ij}\boldsymbol z_j \|^2_2&=\sum^m_{i=1}\|\boldsymbol Z\boldsymbol I_i-\boldsymbol Z\boldsymbol W_i\|^2_2\\
&=\sum^m_{i=1}\|\boldsymbol Z(\boldsymbol I_i-\boldsymbol W_i)\|^2_2\\
&=\sum^m_{i=1}(\boldsymbol Z(\boldsymbol I_i-\boldsymbol W_i))^T\boldsymbol Z(\boldsymbol I_i-\boldsymbol W_i)\\
&=\sum^m_{i=1}(\boldsymbol I_i-\boldsymbol W_i)^T\boldsymbol Z^T\boldsymbol Z(\boldsymbol I_i-\boldsymbol W_i)\\
&=tr((\boldsymbol I-\boldsymbol W)^T\boldsymbol Z^T\boldsymbol Z(\boldsymbol I-\boldsymbol W))\\
&=tr(\boldsymbol Z(\boldsymbol I-\boldsymbol W)(\boldsymbol I-\boldsymbol W)^T\boldsymbol Z^T)\\
&=tr(\boldsymbol Z\boldsymbol M\boldsymbol Z^T)
\end{aligned}$$
其中，$\boldsymbol M=(\boldsymbol I-\boldsymbol W)(\boldsymbol I-\boldsymbol W)^T$。
[解析]：约束条件$\boldsymbol Z^T\boldsymbol Z=\boldsymbol I$是为了得到标准化（标准正交空间）的低维数据。

## 参考文献
<span id="ref1">[1][How to set up Lagrangian optimization with matrix constrains](https://math.stackexchange.com/questions/1104376/how-to-set-up-lagrangian-optimization-with-matrix-constrains)</span><br>
<span id="ref2">[2][Frobenius inner product](https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_inner_product)</span>