## 8.3
$$
\begin{aligned} P(H(\boldsymbol{x}) \neq f(\boldsymbol{x})) &=\sum_{k=0}^{\lfloor T / 2\rfloor} \left( \begin{array}{c}{T} \\ {k}\end{array}\right)(1-\epsilon)^{k} \epsilon^{T-k} \\ & \leqslant \exp \left(-\frac{1}{2} T(1-2 \epsilon)^{2}\right) \end{aligned}
$$
[推导]:由基分类器相互独立，设X为T个基分类器分类正确的次数，因此$\mathrm{X} \sim \mathrm{B}(\mathrm{T}, 1-\mathrm{\epsilon})$
$$
\begin{aligned} P(H(x) \neq f(x))=& P(X \leq\lfloor T / 2\rfloor) \\ & \leqslant P(X \leq T / 2)
\\ & =P\left[X-(1-\varepsilon) T \leqslant \frac{T}{2}-(1-\varepsilon) T\right] 
\\ & =P\left[X-
(1-\varepsilon) T \leqslant -\frac{T}{2}\left(1-2\varepsilon\right)]\right]
 \end{aligned}
$$
根据Hoeffding不等式$P(X-(1-\epsilon)T\leqslant -kT) \leq \exp (-2k^2T)$
令$k=\frac {(1-2\epsilon)}{2}$得
$$
\begin{aligned} P(H(\boldsymbol{x}) \neq f(\boldsymbol{x})) &=\sum_{k=0}^{\lfloor T / 2\rfloor} \left( \begin{array}{c}{T} \\ {k}\end{array}\right)(1-\epsilon)^{k} \epsilon^{T-k} \\ & \leqslant \exp \left(-\frac{1}{2} T(1-2 \epsilon)^{2}\right) \end{aligned}
$$

## 8.5-8.8
由式(8.4)可知
$$H(\boldsymbol{x})=\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} h_{t}(\boldsymbol{x})$$

又由式(8.11)可知
$$
\alpha_{t}=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1-\epsilon_{t}}{\epsilon_{t}}\right)
$$
该分类器的权重只与分类器的错误率负相关(即错误率越大，权重越低)
[推导:]

(1)先考虑指数损失函数$e^{-f(x) H(x)}$的含义：$f$为真实函数，对于样本$x$来说，$f(\boldsymbol{x}) \in\{-1,+1\}$只能取和两个值，而$H(\boldsymbol{x})$是一个实数；
当$H(\boldsymbol{x})$的符号与$f(x)$一致时，$f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})>0$，因此$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}=e^{-|H(\boldsymbol{x})|}<1$，且$|H(\boldsymbol{x})|$越大指数损失函数$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}$越小（这很合理：此时$|H(\boldsymbol{x})|$越大意味着分类器本身对预测结果的信心越大，损失应该越小；若$|H(\boldsymbol{x})|$在零附近，虽然预测正确，但表示分类器本身对预测结果信心很小，损失应该较大）；
当$H(\boldsymbol{x})$的符号与$f(\boldsymbol{x})$不一致时，$f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})<0$，因此$e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}=e^{|H(\boldsymbol{x})|}>1$，且$| H(\boldsymbol{x}) |$越大指数损失函数越大（这很合理：此时$| H(\boldsymbol{x}) |$越大意味着分类器本身对预测结果的信心越大，但预测结果是错的，因此损失应该越大；若$| H(\boldsymbol{x}) |$在零附近，虽然预测错误，但表示分类器本身对预测结果信心很小，虽然错了，损失应该较小）；
(2)符号$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}[\cdot]$的含义：$\mathcal{D}$为概率分布，可简单理解为在数据集$D$中进行一次随机抽样，每个样本被取到的概率；$\mathbb{E}[\cdot]$为经典的期望，则综合起来$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}[\cdot]$表示在概率分布$\mathcal{D}$上的期望，可简单理解为对数据集$D$以概率$\mathcal{D}$进行加权后的期望。
$$
\begin{aligned}
\ell_{\mathrm{exp}}(H | \mathcal{D})=&\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}\right]
\\ =&P(f(x)=1|x)*e^{-H(x)}+P(f(x)=-1|x)*e^{H(x)}
\end{aligned}
$$

由于$P(f(x)=1|x)和P(f(x)=-1|x)$为常数

故式(8.6)可轻易推知

$$
\frac{\partial \ell_{\exp }(H | \mathcal{D})}{\partial H(\boldsymbol{x})}=-e^{-H(\boldsymbol{x})} P(f(\boldsymbol{x})=1 | \boldsymbol{x})+e^{H(\boldsymbol{x})} P(f(\boldsymbol{x})=-1 | \boldsymbol{x})
$$

令式(8.6)等于0可得

式(8.7)
$$
H(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2} \ln \frac{P(f(x)=1 | \boldsymbol{x})}{P(f(x)=-1 | \boldsymbol{x})}
$$
式(8.8)显然成立
$$
\begin{aligned}
\operatorname{sign}(H(\boldsymbol{x}))&=\operatorname{sign}\left(\frac{1}{2} \ln \frac{P(f(x)=1 | \boldsymbol{x})}{P(f(x)=-1 | \boldsymbol{x})}\right)
\\ & =\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {P(f(x)=1 | \boldsymbol{x})>P(f(x)=-1 | \boldsymbol{x})} \\ {-1,} & {P(f(x)=1 | \boldsymbol{x})<P(f(x)=-1 | \boldsymbol{x})}\end{array}\right.
\\ & =\underset{y \in\{-1,1\}}{\arg \max } P(f(x)=y | \boldsymbol{x})
\end{aligned}
$$

<!-- ## 8.16
由式(8.13)可知
$$
\begin{aligned} \ell_{\exp }\left(H_{t-1}+h_{t} | \mathcal{D}\right) & \simeq \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h_{t}(\boldsymbol{x})+\frac{f^{2}(\boldsymbol{x}) h_{t}^{2}(\boldsymbol{x})}{2}\right)\right] \\ &=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h_{t}(\boldsymbol{x})+\frac{1}{2}\right)\right] \quad \text { . } \end{aligned}
$$

求得的$h_t$使得损失函数最小，所以得出(8.14)
$$
\begin{aligned}
h_{t}(\boldsymbol{x})&=\underset{h}{\arg \min } \ell_{\exp }\left(H_{t-1}+h | \mathcal{D}\right)
\\&
\begin{array}{l}{ =\underset{h}{\arg \min } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\left(1-f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})+\frac{1}{2}\right)\right]} \\ {=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right]} \\ {=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right.}} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right]}\end{array} \end{aligned}
$$

最后一行式子里$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]$因为是基于学习器$H_{t-1}$的指数损失函数的期望，所以是大于0的常数，所以这里不影响损失函数最小时，参数h的值。

式(8.15)
$$
\mathcal{D}_{t}(\boldsymbol{x})=\frac{\mathcal{D}(\boldsymbol{x}) e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]}
$$

这里的$\mathcal{D}$是x的概率分布 -->

## 8.16
$$
\begin{aligned} h_{t}(\boldsymbol{x}) &=\underset{h}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right] \\ &=\underset{\boldsymbol{h}}{\arg \max } \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}_{t}}[f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})] \end{aligned}
$$

假设x的概率分布是f(x)
(注:本书中概率分布全都是$\mathcal{D(x)}$)

$$
\mathbb{E(g(x))}=\sum_{i=1}^{|D|}f(x)g(x)
$$
故可得

$$
\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x})}\right]=\sum_{i=1}^{|D|} \mathcal{D}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) e^{-f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) H\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}
$$
由式(8.15)可知
$$
\mathcal{D}_{t}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)=\mathcal{D}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \frac{e^{-f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) H_{t-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]}
$$

所以式(8.16)可以表示为
$$
\begin{aligned} & \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[\frac{e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x})}\right]} f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})\right] \\=& \sum_{i=1}^{|D|} \mathcal{D}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \frac{e^{-f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) H_{t-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}}\left[e^{-f(\boldsymbol{x}) H_{t-1}(\boldsymbol{x}) }]  \right.}f(x_i)h(x_i) \\=& \sum_{i=1}^{|D|} \mathcal{D}_{t}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) h\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \\=& \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim \mathcal{D}_{t}}[f(\boldsymbol{x}) h(\boldsymbol{x})] \end{aligned}
$$



## 附录

(1) 如何由下式(*)推至式(8.16)
$$
P(f(x)=1|x)e^{-H(x)}+P(f(x)=-1|x)e^{H(x)}(*)
$$

首先式(*)可以拆成n个式子,n的个数为x的取值个数

$$
P(f(x_i)=1|x_i)e^{-H(x_i)}+P(f(x_i)=-1|x_i)e^{H(x_i)}(i=1,2,...,n)(**)
$$

当$x_i$确定的时候,$P(f(x_i=1|x_i))$与$P(f(x_i=-1|x_i))$其中有一个为0，另一个为1，则式(**)可以化简成
$$
e^{-f(x_i)H(x_i)}(i=1,2,...,n)(***)
$$
拆成n个式子是根据不同的x来拆分的，可以把$x=x_i$看成一个事件，设为事件$A_i$，当事件$A_i$发生时，事件$A_j$一定不发生，即各事件互斥,而且各个事件发生的概率是$P(A_i)=\mathcal{D}(x_i)$，此时可以考虑成原来的x被分成了n叉树，每个路径的概率是$\mathcal{D}(x_i)$,叶子结点的值是$e^{-f(x_i)H(x_i)}$相乘再相加即为期望，同式(8.16)
<!-- $$
P(\cup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)=\sum_{i=1}^n\mathcal{D}(x_i)
$$ -->