## 15.2

$$
\mathrm{LRS}=2 \cdot\left(\hat{m}_{+} \log _{2} \frac{\left(\frac{\hat{m}_{+}}{\hat{m}_{+}+\hat{m}_{-}}\right)}{\left(\frac{m_{+}}{m_{+}+m_{-}}\right)}+\hat{m}_{-} \log _{2} \frac{\left(\frac{\hat{m}_{-}}{\hat{m}_{+}+\hat{m}_{-}}\right)}{\left(\frac{m_{-}}{m_{+}+m_{-}}\right)}\right)
$$

[解析]：似然率统计量(Likelihood Ratio Statistics)的定义式。

## 15.3

$$
\mathrm{F}_{-} \text {Gain }=\hat{m}_{+} \times\left(\log _{2} \frac{\hat{m}_{+}}{\hat{m}_{+}+\hat{m}_{-}}-\log _{2} \frac{m_{+}}{m_{+}+m_{-}}\right)
$$

[解析]：FOIL增益(FOIL gain)的定义式。

## 15.6

$$
(A \vee B)-\{B\}=A
$$

[解析]：析合范式的删除操作定义式，表示在$A$和$B$的析合式中删除成分$B$，得到成分$A$。

## 15.7

$$
C=\left(C_{1}-\{L\}\right) \vee\left(C_{2}-\{\neg L\}\right)
$$

[解析]：$C=A\vee B$，把$A=C_1 - \{L\}$和$L=C_2-\{\neg L\}$带入即得。

## 15.9

$$
C_{2}=\left(C-\left(C_{1}-\{L\}\right)\right) \vee\{\neg L\}
$$

[解析]：由式15.7可知
$$
C_2-\{\neg L\} = C - (C_1 - \{L\})
$$
由式15.6 移项即证得。

## 15.10

$$
\frac{p \leftarrow A \wedge B  \quad q \leftarrow A}{p \leftarrow q \wedge B  \quad q \leftarrow A}
$$

[解析]：吸收(absorption)操作的定义。

## 15.11

$$
\frac{p \leftarrow A \wedge B \quad p \leftarrow A \wedge q}{q \leftarrow B \quad p \leftarrow A \wedge q}
$$

[解析]：辨识(identification)操作的定义。

## 15.12

$$
\frac{p \leftarrow A \wedge B\quad p \leftarrow A \wedge q }{q \leftarrow B\quad p \leftarrow A \wedge q \quad q \leftarrow C} 
$$

[解析]：内构(intra-construction)操作的定义。

## 15.13

$$
\frac{p \leftarrow A \wedge B\quad q \leftarrow r \wedge C}{p \leftarrow r \wedge B\quad r \leftarrow A \quad q \leftarrow r \wedge C} 
$$

[解析]：互构(inter-construction)操作的定义。

## 15.14

$$
C=\left(C_{1}-\left\{L_{1}\right\}\right) \theta \vee\left(C_{2}-\left\{L_{2}\right\}\right) \theta
$$

[解析]：由式15.7，分别对析合的两个子项进行归结即得证。

## 15.16

$$
C_{2}=\left(C-\left(C_{1}-\left\{L_{1}\right\}\right) \theta_{1} \vee\left\{\neg L_{1} \theta_{1}\right\}\theta_{2}^{-1}\right) 
$$

[推导]：这里$\theta_2^{-1}$应该放在括号里，可能是作者的笔误。由15.9
$$
\begin{aligned}
C_{2}&=\left(C-\left(C_{1}-\{L_1\}\right)\right) \vee\{L_2\}\\
\end{aligned}
$$
因为 $L_2=(\neg L_1\theta_1)\theta_2^{-1}$，因此对析合的两个子项分别做归一得证。