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15.2

$$ \mathrm{LRS}=2 \cdot\left(\hat{m}_{+} \log {2} \frac{\left(\frac{\hat{m}{+}}{\hat{m}{+}+\hat{m}{-}}\right)}{\left(\frac{m{+}}{m{+}+m{-}}\right)}+\hat{m}{-} \log {2} \frac{\left(\frac{\hat{m}{-}}{\hat{m}{+}+\hat{m}{-}}\right)}{\left(\frac{m{-}}{m{+}+m_{-}}\right)}\right) $$

[解析]：似然率统计量(Likelihood Ratio Statistics)的定义式。

15.3

$$ \mathrm{F}{-} \text {Gain }=\hat{m}{+} \times\left(\log {2} \frac{\hat{m}{+}}{\hat{m}{+}+\hat{m}{-}}-\log {2} \frac{m{+}}{m{+}+m{-}}\right) $$

[解析]：FOIL增益(FOIL gain)的定义式。

15.6

$$ (A \vee B)-{B}=A $$

[解析]：析合范式的删除操作定义式，表示在$A$和$B$的析合式中删除成分$B$，得到成分$A$。

15.7

$$ C=\left(C{1}-{L}\right) \vee\left(C{2}-{\neg L}\right) $$

[解析]：$C=A\vee B$，把$A=C_1 - {L}$和$L=C_2-{\neg L}$代入即得。

15.9

$$ C{2}=\left(C-\left(C{1}-{L}\right)\right) \vee{\neg L} $$

[解析]：由式15.7可知 $$ C_2-{\neg L} = C - (C_1 - {L}) $$ 由式15.6 移项即证得。

15.10

$$ \frac{p \leftarrow A \wedge B \quad q \leftarrow A}{p \leftarrow q \wedge B \quad q \leftarrow A} $$

[解析]：吸收(absorption)操作的定义。

15.11

$$ \frac{p \leftarrow A \wedge B \quad p \leftarrow A \wedge q}{q \leftarrow B \quad p \leftarrow A \wedge q} $$

[解析]：辨识(identification)操作的定义。

15.12

$$ \frac{p \leftarrow A \wedge B\quad p \leftarrow A \wedge q }{q \leftarrow B\quad p \leftarrow A \wedge q \quad q \leftarrow C} $$

[解析]：内构(intra-construction)操作的定义。

15.13

$$ \frac{p \leftarrow A \wedge B\quad q \leftarrow r \wedge C}{p \leftarrow r \wedge B\quad r \leftarrow A \quad q \leftarrow r \wedge C} $$

[解析]：互构(inter-construction)操作的定义。

15.14

$$ C=\left(C{1}-\left{L{1}\right}\right) \theta \vee\left(C{2}-\left{L{2}\right}\right) \theta $$

[解析]：由式15.7，分别对析合的两个子项进行归结即得证。

15.16

$$ C{2}=\left(C-\left(C{1}-\left{L{1}\right}\right) \theta{1} \vee\left{\neg L{1} \theta{1}\right}\right)\theta_{2}^{-1} $$

[推导]：$\theta1$为作者笔误，由15.9 $$ \begin{aligned} C{2}&=\left(C-\left(C_{1}-{L_1}\right)\right) \vee{L_2}\ \end{aligned} $$ 因为 $L_2=(\neg L_1\theta_1)\theta_2^{-1}$，替换得证。